[이코테] 09. 그래프 이론 - 서로소 집합

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📢 '이것이 코딩 테스트다 with 파이썬' 책을 공부하고 복습하기 위해 작성했습니다.

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서로소 집합 (Disjoint Sets)

서로소 집합: 공통 원소가 없는 두 집합

서로소 집합 자료구조: 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조

서로소 집합 자료구조는 union과 find 2개의 연산으로 조작할 수 있다. "union-find 자료구조"라고 불리기도 한다.

• union(합집합) 연산: 2개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
• find(찾기) 연산: 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산

서로소 집합 자료구조

서로소 집합 자료구조는 트리 자료구조를 이용하여 집합을 표현한다. 서로소 집합 정보(합집합 연산)가 주어졌을 때 트리 자료구조를 이용해 집합을 표현하는 서로소 집합 계산 알고리즘은 다음과 같다.

1. union 연산을 확인하며, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
   1. A와 B의 루트 노드 A', B'을 각각 찾는다.
   2. A'를 B'의 부모 노드로 설정한다 (B'이 A'을 가리키도록 한다.)
2. 모든 union 연산을 처리할 때까지 1번 과정을 반복한다.

• 실제로 구현할 때는 A', B' 중에서 번호가 작은 원소가 부모 노드가 되도록 구현한다. 또한 "가리킨다"는 표현은 부모 노드로 설정한다는 의미이다.

서로소 집합 계산 알고리즘의 동작 방식

전체 집합 {1, 2, 3, 4, 5, 6}이 6개의 원소로 구성되어 있다.

이때 다음 4개의 union 연산이 주어진다.

- union 1, 4
- union 2, 3
- union 2, 4
- union 5, 6

4개의 union 연산이 수행된 후에, 전체 원소들이 결과적으로 어떠한 형태의 부분 집합으로 나누어질지 확인해 보자.

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union 연산들은 그래프 형태로 표현할 수 있다. 각 원소는 그래프에서의 노드로 표현되고, "같은 집합에 속한다"는 정보를 담은 union 연산들은 간선으로 표현된다.

실제로 각 원소의 집합 정보를 표현하려면 트리 자료구조를 이용하고, 일반적으로 번호가 큰 노드가 번호가 작은 노드를 가리키도록 그림을 그린다. 즉, 트리 구조상 번호가 작은 노드가 부모가 되고, 번호가 큰 노드가 자식이 된다.

다음 그래프는 union의 관계를 효과적으로 보여주기 위해 그래프 형태로 시각화한 것이다.

전체 원소가 {1, 2, 3, 4}와 {5, 6}의 두 집합으로 나누어진다.

이렇듯 union 연산으로 그래프를 그리면 "연결성"으로 집합의 형태를 확인할 수 있다.

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union 연산을 수행한 과정은 다음과 같다.

1. 노드의 개수(V) 크기의 부모 테이블을 초기화 한다. 이때 모든 원소가 자기 자신을 부모로 가지도록 설정한다.
   • 부모 테이블은 특정 노드의 부모에 대해서만 저장하고 있다. 루트 노드를 확인하고자 하면 부모를 재귀적으로 거슬러 올라가서 최종적인 루트 노드를 찾아야 한다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
부모	1	2	3	4	5	6

2. union 1, 4 연산을 확인하면, 1과 4를 합친다. 노드 1과 노트 4의 루트 노드를 각각 찾아 더 큰 번호의 루트 노드를 작은 번호의 루트 노드로 연결한다. 현재 노드 1과 노드 4의 부모 노드는 각각 1과 4이기 때문에, 노드 4의 부모를 1로 설정한다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
부모	1	2	3	1	5	6

3. union 2, 3 연산을 확인하면, 2와 3을 합친다. 노드 2와 노드 3의 루트 노드는 각각 2와 3이기 때문에 노드 3의 부모를 2로 설정한다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
부모	1	2	2	1	5	6

4. union 2, 4 연산을 확인하면, 2와 4를 합친다. 노드 2와 노드 4의 루트 노드는 각각 2와 1이기 때문에 노드 2의 부모를 1로 설정한다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
부모	1	1	2	1	5	6

5. union 5, 6 연산을 확인하면, 5와 6을 합친다. 노드 5와 노드 6의 루트 노드는 각각 5와 6이기 때문에 노드 6의 부모를 5로 설정한다.

노드 번호	1	2	3	4	5	6
부모	1	1	2	1	5	5

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기본적인 서로소 집합 알고리즘 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    # x가 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x


# 두 원소가 속한 집합 합치기 union
def union_parent(parent, x, y):
    x = find_parent(parent, x)
    y = find_parent(parent, y)

    # 부모가 큰 노드를 작은 노드의 부모로 설정
    if x < y:
        parent[y] = x
    else:
        parent[x] = y


# 노드의 개수와 간선(union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())

# 부모 테이블 초기화
parent = list(range(v+1))

# union 연산 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합:', end=" ")
for i in range(1, v+1):
    print(find_parent(parent, i), end=" ")

print()

# 부모 테이블 출력
print('부모 테이블:', *parent[1:])

 

입력 예시
6 4
1 4
2 3
2 4
5 6

출력 예시
각 원소가 속한 집합: 1 1 1 1 5 5
부모 테이블: 1 1 2 1 5 5

 

출력에서 각 원소가 속한 집합은 각 원소의 루트 노드를 나타내며, 루트 노드가 같은 원소끼리 동일한 집합을 이룬다. 다시 말해 전체 원소가 {1, 2, 3, 4}와 {5, 6}으로 나누어진다.

위와 같이 구현하면, 답을 구할 수는 있지만 find 함수가 비효율적으로 동작한다. 최악의 경우 find 함수가 모든 노드를 다 확인해야 하고 O(V)의 시간이 걸린다.

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이러한 find 함수를 경로 압축(Path Compression) 기법으로 최적화할 수 있다. 경로 압축은 find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 경신하는 기법이다. 기존 find 함수를 다음과 같이 변경한다.

# 경로 압축 기법 소스코드

def find_parent(parent, x):
   if parent[x] != x:
      parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
   return parent[x]

 

수정된 함수는 각 노드에 대하여 find 함수를 호출한 이후에, 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.

결과적으로 경로 압축 기법을 이용하면 루트 노드에 더 빠르게 접근할 수 있고, 시간 복잡도가 개선된다.

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서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도

경로 압축 방법을 이용한 경우의 시간 복잡도를 알아보자. 노드의 개수가 V개이고, 최대 V-1 개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할 때 시간 복잡도는 O(V + M(1 + log_(2 M/V) V))이다.

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서로소 집합을 활용한 사이클 판별

서로소 집합은 무방향 그래프 내에서 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다. 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.

union 연산은 그래프에서 간선으로 표현될 수 있는데, 간선을 하나씩 확인하면서 두 노드가 포함되어 있는 집합을 합치는 과정을 반복하면 사이클을 판별할 수 있다.

1. 각 간선을 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
   • 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 union 연산을 수행한다.
   • 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

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사이클 판별 소스코드

# 특정 원소가 속한 집합 찾기
def find_parent(parent, x):
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)

    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선의 개수 입력
v, e = map(int, input().split())
# 부모 테이블 초기화
parent = list(range(v+1))
# 사이클 발생 여부
cycle = False

for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())

    # 사이클이 발생하면 종료
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
        cycle = True
        break

    # 사이클이 발생하지 않으면 union 연산 수행
    union_parent(parent, a, b)

if cycle:
    print('사이클이 발생했습니다.')
else:
    print('사이클이 발생하지 않았습니다.')

입력 예시
3 3
1 2
1 3
2 3

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